Menentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran yang Persamaannya diketahui

Berdasarkan persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan berjari-jari r adalah:

(x – a)² + (y – b)² = r²

x²– 2ax + a² + y² – 2by + b²= r²

x² + y² – 2ax – 2by + a² + b²= r²

x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0

Jika –2a = 2A, –2b = 2B dan a² + b²– r² = C, maka diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran:

 

Untuk lebih memahaminya, pelajarilah contoh soal berikut ini.

 

BACA JUGA : PERSAMAAN LINGKARAN PUSAT

 

Contoh soal

• Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan lingkaran 2x² + 2y² – 4x + 16y + 2 = 0

Jawab:

2x² + 2y² – 4x + 16y + 2 = 0                    kedua ruas di bagi 2

x² + y² – 2x + 8y + 1 = 0

x² + y² +2Ax + 2By + C = 0

doperoleh:

2A = -2                          2B = 8                    C=1

A = -1                             B = 4

 Substitusi A,B dan C ke Rumus Umum pers. Lingkaran

 

 

pusat lingkaran = (- A , - B ) sehingga (-1,-4)

jadi, pusat lingkaran (-1,-4) dan Jari-jari lingkaran = 4

 

• Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik (–2, 0), (6, 0), dan (5, 7) dan tentukan pula pusat dan jari-jari lingkarannya.

Jawab:

Melalui (-2,0)

x² + y² + ax + by  + c = 0

(-2)² + 0² + a.(-2) + b.0 + c = 0

4 – 2a + c = 0 ………………………….(1)

 

Melalui (6,0)

x² + y² + ax + by + c = 0

6² + 0² + a . 6 + b . 0 + c = 0

36 + 6a + c = 0 ……………………(2)

 

Melalui (5,7)

x² + y² + ax + by + c = 0

5² + 7² + a . 5 + b . 7 + c = 0

25 + 49 + 5a + 7b + c = 0

74 + 5a + 7b + c = 0 ………………..(3)

 

Eliminasi  persamaan (1) dan (2)

4 – 2a + c = 0

36 + 6a + c = 0 –

-32 -8a = 0

-8a = 32

a = -4

 

substitusi a= -4 ke pers (1)

4 – 2a + c = 0

4 – 2(-4) + c = 0

4 + 8 + c = 0

12 + c = 0

c = -12

 

substitusi c = -12 ke persamaan (3)

74 + 5a + 7b + c = 0 ………………..(3)

74 + 5(-4) + 7b + (-12) = 0

74 -20 + 7b – 12 = 0

(74 – 20 – 12) + 7b = 0

42 + 7b = 0

7b = - 42

b = -6

 

a = -4, b = -6 dan c = -12, substitusi ke rumus umum persamaan lingkaran

sehingga persamaan lingkaran adalah

x² + y² + ax + by + c = 0

x² + y² + (-4)x + (-6)y + (-12) = 0

x² + y² -4x - 6y  - 12 = 0

ingat yang dicari adalah pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran

x² + y² -4x - 6y  - 12 = 0

x² + y² +2Ax + 2By + C = 0

maka diperoleh

2A = -4                          2B = -6                 C= -12

A = -2                             B = -3

 

Substitusi A,B dan C ke Rumus Umum pers. Lingkaran

 

 

 

 

titik pusat lingkaran = (-A,-B) maka ( 2,3)

jadi titik pusat lingkaran di (2,3) dan jari-jarinya = 1

 

selesai.

 

Mohon maaf untuk di koreksi lagi.

Location:

Share :